Funkcje hiperboliczne
Definicja 1: Kosinus hiperboliczny
Funkcją kosinus hiperboliczny nazywamy funkcję \( \cosh:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( \cosh(x)={{e^x+e^{-x}}\over 2} \), gdzie \( e \) jest stałą Eulera - ( \( e:=\lim\limits_{n\to \infty} ({1+}{1\over n})^n \) ).
Dziedziną funkcji kosinus hiperboliczny jest \( \mathbb R \), a zbiorem wartości \( [1,\infty) \)
Uwaga 1:
Wykres funkcji cosh możemy utworzyć szkicując wykresy \( y={1\over 2}e^x \), \( y={1\over 2}e^{-x} \) i dodając ich wartości w odpowiednich punktach.
Uwaga 2:
Wykres funkcji kosinus hiperboliczny bywa nazywany krzywą łańcuchową, gdyż jego kształt przyjmuje jednorodny giętki kabel lub łańcuch, którego końce są umocowane na słupach o tej samej wysokości ( \( a \) to stała rzeczywista - parametr sposobu zamocowania i ciężaru właściwego materiału, z którego wykonany jest kabel lub łańcuch).
Definicja 2: Sinus hiperboliczny
Dziedziną i zbiorem wartości funkcji sinus hiperboliczny jest \( \mathbb R \).
Uwaga 3:
Stąd, że \( \sinh x={1\over 2}e^x+{{-1}\over 2}e^{-x} \) wynika, że wykres funkcji \( y=\sinh x \) możemy otrzymać szkicując wykresy \( y={1\over 2}e^x \) i \( y={{-1}\over 2}e^{-x} \) i dodając ich wartości w odpowiednich punktach.
Definicja 3: Tangens hiperboliczny
Funkcją tangens hiperboliczny nazywamy funkcję \( th:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( th(x)={{\sinh x}\over {\cosh x}} \).
Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest \( \mathbb R \), zaś zbiorem wartości przedział otwarty \( (-1,1) \).
Definicja 4: Kotangens hiperboliczny
Funkcją kotangens hiperboliczny nazywamy funkcję \( cth:\mathbb R\setminus \{ 0\}\to\mathbb R \) określoną wzorem \( cth(x)={{\cosh x}\over {\sinh x}} \).
Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest \( \mathbb R\setminus \{0\} \), zaś zbiorem wartości suma przedziałów \( (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \).
Przykład 1:
Pokażemy, że funkcje \( \cosh \) i \( \sinh \) są odpowiednio składową parzystą i nieparzystą funkcji wykładniczej \( f(x)=e^x \)
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że \( \cosh x+\sinh x={{e^x+e^x}\over 2}+{{e^x-e^x}\over 2}={{2e^x}\over 2}=e^x \).
Dziedziną funkcji \( f \) jest \( \mathbb R \), czyli możemy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie na część parzystą i nieparzystą.
Mamy tu
\( f_1(x)={{f(x)+f(-x)}\over 2}={{e^x+e^{-x}}\over 2}=\cosh x \),
\( f_2(x)={{f(x)-f(-x)}\over 2}={{e^x-e^{-x}}\over 2}=\sinh x \).
Przykład 2:
Pokażemy, że dla funkcji hiperbolicznych zachodzą tożsamości podobne do znanych tożsamości trygonometrycznych
1. \( \cosh^2x-\sinh^2x=1 \).
Korzystamy z określenia funkcji hiperbolicznych \( \cosh^2x-\sinh^2x=({{e^x+e^{-x}}\over 2})^2-({{e^x-e^{-x}}\over 2})^2={{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}}\over 4}-{{e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}}\over 4}= \) \( ={{e^{2x}+2e^0+e^{-2x}-e^{2x}+2e^0-e^{-2x}}\over 4}={4\over 4}=1 \)
2. \( \cosh(2x)=\cosh^2x+\sinh^2x \).
Przekształcamy prawą stronę równości \( \cosh^2x+\sinh^2x=({{e^x+e^{-x}}\over 2})^2+({{e^x-e^{-x}}\over 2})^2={{e^{2x}+2e^0+e^{-2x}+e^{2x}-2e^0+e^{-2x}}\over 4}={{2e^{2x}+2e^{-2x}}\over 4}= \) \( ={{e^{2x}+e^{-2x}}\over 2}=\cosh(2x) \).
3. \( \sinh (2x)=2\sinh x\cosh x \).
Uwaga 4: O nazwie funkcji hiperbolicznych
Funkcje hiperboliczne mają wiele własności podobnych do własności funkcji trygonometrycznych, stąd słowa sinus, kosinus, tangens, kotangens w ich nazwach. Mają też pewne związki z hiperbolą. Mianowicie dla dowolnego rzeczywistego \( t \) punkt \( P \) o współrzędnych \( P=(\cosh t,\sinh t) \) leży na hiperboli \( H \) o równaniu \( x^2-y^2=1 \). Faktycznie współrzędne tego punktu spełniają równanie hiperboli, gdyż z pierwszej tożsamości występującej w poprzednim przykładzie mamy \( \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 \). Liczba \( t \) może być interpretowana jako miara łukowa kąta pomiędzy osią \( 0\vec x \) a promieniem wodzącym punktu \( P \).